Python学习笔记_神经网络常见激活函数整理及其 Python 绘图

本文介绍了三种常见的激活函数以及激活函数的选择方式。

1 Sigmoid Function

1.1 简介

Sigmoid 函数又名 Logistic 函数，值域为 (0, 1) ，可以将任意一个实数映射到一个介于 (0, 1) 区间之内的值，常用于隐层神经元输出，其函数表达式为：

$$Sigmoid(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$$

1.2 优缺点

• 优点：Sigmoid 函数求导简便，在在特征相差比较复杂或是相差不是特别大时效果比较

• 缺点：激活函数计算量大，在反向传播时容易出现梯度消失问题；当 $z$ 很大或者很小时，函数变化的很慢，会拖慢梯度下降算法

★ 除非在二分类的输出层，否则尽量不要使用

1.3 函数图像

使用 matplotlib.pyplot 进行绘图，代码如下

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np

x = np.arange(-10, 10, 0.01) # 生成一个 [-10, 10] 之间差值为 0.01 的等差数列，代表图像中的 x axis
y = []
for num in x:
    y.append(1/(1 + math.exp(-num)))

plt.title('Sigmoid Function')
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('σ(z)')
plt.plot(x, y)
plt.show()

图像绘制结果如下所示：

2 Tanh Function

2.1 简介

Tanh 函数叫做 反正切 函数，值域为 (-1, 1) ，可以将任意一个实数映射到一个介于 (-1, 1) 区间之内的值，其函数表达式为：

$$tanh(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}$$

2.2 优缺点

• 优点：Tanh 函数几乎总比 Sigmoid 函数表现的好，因为函数输出介于 -1 和 1 之间，激活函数的平均值更接近 0，使用 Tanh 函数有类似数据中心化的效果，使得数据的平均值更接近 0，使得下一层的学习更加方便

• 缺点：在输出层时，我们更希望输出值 $\hat{y}$ 是一个介于 0 和 1 之间的数而不是 -1 和 1 之间； 在二元分类的时候， Tanh 函数作为输出层的表现也不如 Sigmoid 函数； 当 $z$ 很大或者很小时，函数变化的很慢，会拖慢梯度下降算法

2.3 函数图像

使用 matplotlib.pyplot 进行绘图，代码如下

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np

x = np.arange(-10, 10, 0.01) # 生成一个 [-10, 10] 之间差值为 0.01 的等差数列，代表图像中的 x axis
y = []
for num in x:
    y.append((math.exp(num) - math.exp(-num))/(math.exp(num) + math.exp(-num)))

plt.title('Tanh Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('tanh(x)')
plt.plot(x, y)
plt.show()

图像绘制结果如下所示：

3 ReLU (Rectified Linear Unit)

3.1 简介

通常意义下，线性修正单元 ReLU 指代数学中的斜坡函数，即

$$ReLU(z) = max\{0, z\}$$

而在神经网络中，ReLU 通常作为神经元的默认激活函数，定义了该神经元在线性变换$w^{T}x+b$ 之后的非线性输出结果。换言之，对于进入神经元的来自上一层神经网络的输入向量，使用线性整流激活函数的神经元会输出

$$ReLU(z) = max\{0, w^{T}x+b\}$$

至下一层神经元或作为整个神经网络的输出

3.2 优缺点

• 优点：更加有效率的梯度下降以及反向传播：避免了梯度爆炸和梯度消失问题；简化计算过程：没有了其他复杂激活函数中诸如指数函数的影响；同时相较于 Sigmoid Function & Tanh Function， 神经网络整体计算成本下降，速度加快很多
• 缺点：在 $z<0$ 时导数为 0 ，在 $z=0$ 时不可导

3.3 函数图像

使用 matplotlib.pyplot 进行绘图，代码如下

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np

x = np.arange(-10, 10, 0.01) # 生成一个 [-10, 10] 之间差值为 0.01 的等差数列，代表图像中的 x axis
y = []
for num in x:
    if num <= 0 :
        y.append(0)
    else:
        y.append(num)

plt.title('Rectified Linear Unit')
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('ReLU(z)')
plt.plot(x, y)
plt.show()

图像绘制结果如下所示：

4 选择 Activation Functions 的经验法则

• 如果输出值是 0 和 1 （二元分类），Sigmoid Function 很适合作为输出层的激活函数，其他单元都用 ReLU 作为激活函数（如果你不知道隐层应该用什么激活函数）
• 如果愿意的话，也可以用 $Leaky ReLU(z) = max\{0.01z,z\}$ ，与 ReLU 相比， Leaky ReLU 在 $z<0$ 的部分导数不为 0。当然，Leaky ReLU 中的系数 $0.01$ 也可以把其看做一个需要学习的参数进行训练

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